Integration et dérivation des séries de Fourier complexes: 2.12. On a donc : Or f(0) = 0 d’après l’expression de f (on peut le voir aussi sur le tracé de f) : On a maintenant la somme que l’on souhaite, il n’y a plus qu’à l’isoler ; On vient de trouver l’expression recherchée. En particulier, il chauffait un endroit de la p´eriph´erie d’un anneau en fer et observait ensuite l’´evolution de la temp´erature sur la totalit´e de l’anneau au cours du temps. Ils apparaissent dans les problèmes géométriques utilisant des angles et ont surtout été développés pour l’astronomie, une science très importante dans l’Antiquité. Nous dirons qu’une telle fonction est continue par morceaux. Cet exercice très classique va faire intervenir le calcul des coefficients, le théorème de Dirichlet, la formule de Parseval, et même les propriétés sur les fonctions paires et impaires (en gros tout ce que l’on a vu ci-dessus ! —. Filtrage des signaux IV. n de la série de Fourier sont nuls. J'ai essayé d'utiliser fft le module numpy, mais il semble plus dédié à des transformées de Fourier de la série. J'ai commencé à étudier les séries de Fourier récemment. n sont les coefficients de Fourier de f(x). On aurait ainsi décomposé f en une somme de cosinus et de sinus (ou d’exponentielles). Evidemment, cette fonction est impaire.Ce qui veut dire que tout les an sont nuls. Théorème de Dirichlet Integration et dérivation des séries de Fourier complexes: 2.12. L… $$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$. Matrices y vectores. Introduction Cherchons maintenant la deuxième somme : On voit qu’il s’agit de la même somme que précédemment mais au carré : dans ce genre de cas, on doit immédiatement penser à la formule Parseval !! Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe: 2.11. En effet, f est C1 par morceaux (on ne va pas le montrer mais on va ici l’admettre car ce n’est pas l’objectif de l’exercice), donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet, selon lequel f est égale à sa série de Fourier, donc pour tout réel t : On voit que la somme ressemble à celle que l’on veut calculer, sauf qu’il y a cos((2k + 1)x) dont on aimerait se débarrasser. Si une fonction f T-périodique de R dans C est C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge en tout point vers sa régularisée : Exercices corrigés sur les séries de Fourier 1 Enoncés Exercice 1 Calculer la série de ourierF trigonométrique de la fonction 2ˇ-périodique f: R! Les coefficients complexes, notés cn, sont alors définis par : Les coefficients réels an et bn sont quant à eux définis par : Remarques : a0 correspond à la valeur moyenne de f. ce qui est équivalent à $$ F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big)$$ ), donc on remplace n par 2k + 1 avec k ≥ 0 : Il n’y a plus qu’à remplacer a0 et a2k + 1 avec l’expression trouvée précédemment : On vient de déterminer la série de Fourier de f ! cos(ω(x + T)) = cos(ωx + ωT) On trouve alors : Or cos(nπ) = (-1)n, donc cos(nπ) – 1 = 0 si n est pair, et -2 si n est impair. Analyse et traitement de signaux aléatoires. T. En conclusion, la série de Fourier représente correctement f(t) dans l'intervalle [t 0,t0+T], en dehors de cet intervalle, la série de Fourier reproduit à gauche et à droite de l'intervalle la fonction f(t) définie entre t 0 et t0+T. On peut généraliser cette affirmation:silafonctionf,surl’intervalle[0;L],estsymétriqueparrap-portàsonmilieu,c’estàdiretellequef(L x) = f(x),alorssescoefficient deFourierb nsontnuls(àdémontrerbiensûr). Pour aboutir à leur forme actuelle, ils sont partis de la Grèce antique, allés jusqu’en Inde pour revenir par la Perse et l’Arabie et enfin en Europe à la Renaissance. SÉRIE DE FOURIER. Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier : 2.10. Ecuaciones de la recta Funciones Aritmética y composición Secciones cónicas. Fourier Series Calculator es un calculador on line de la serie de fourier, simplemente introduce tu funcion si es definida a trozos, introduce cada uno de los trozos y calcula los coeficientes de fourier, tambien puedes representarla con hasta 20 coeficientes. – application de la formule de Parseval. Par périodicité, on peut bien sûr intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur T, et pas forcément sur [0 ; T], par exemple sur [-T/2 ; T/2]. Deux cas particuliers que l’on rencontrera souvent : les fonctions paires et impaires. LA TRANSFORMATION DE FOURIER I. Commençons par la première : Pour la calculer, nous allons appliquer le théorème de Dirichlet. 8. Outil pratique qui permet de faire des calculs sur des fonctions bizarroïdes, mais répétitives. Tu trouveras sur cette page ainsi que sur cette page tous les exercices sur les séries de Fourier ! Ce calculateur est une Sandbox en ligne pour jouer avec la Transformation de Fourier discrète (TFD) Il utilise la véritable TFD qui est la version de la Transformation de Fourier discrète utilisant des nombres réels pour représenter les signaux d'entrée et de sortie. Il vient en effet de terminer l'étude de la diffusion, graduée en difficulté, dans les divers solides de formes remarquables. Free Fourier Series calculator - Find the Fourier series of functions step-by-step. Learn more Accept. CALCULS DE COEFFICIENTS DE FOURIER La série de Fourier d’un élément fde Esera notée [f]. Derivadas Aplicaciones de la derivada Limites Integrales Aplicaciones de la integral Series EDO Transformada de Laplace Serie de Taylor/Maclaurin Serie de Fourier. Exemple d’application En La formule de Parseval est une égalité qui va nous permettre de calculer certaines sommes comme nous le verrons dans les exercices. Déterminer la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie sur [−π,π] par f(x)=|x|. Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier : 2.10. On pourrait également démontrer que cos(nωT), sin(nωT) et exp(niωT) sont également périodiques de période T pour tout entier n. La première étape est de tracer la fonction afin de voir à quoi elle ressemble : Nous avons tracé en vert la fonction sur [-π : π], le reste est déduit par périodicité. Le second a présenté en 1854, à l’oc- casion de sa thèse d’habilitation à l’Université de Göttingen, un travail intitulé Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique qui consti- f étant continue par morceaux, on peut appliquer la formule de Parseval : |f|2 est paire, on peut donc, comme pour le calcul des coefficients, n’intégrer que sur une demie-période et multiplier par 2. On aurait ainsi décomposé f en une somme de cosinus et de sinus (ou d’exponentielles). domaines scientifiques tels que l'optique et vague mouvement utilisent processus transformée de Fourier … La somme de la Joseph FOURIER, mathématicien français, a¢rma, dans un mémoire daté de 1807, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction D’où, pour n ≥ 1 : Attention, tous les coefficients d’indice pair sont nuls sauf a0 !! En effet : Si la fonction F(x) est à valeurs dans R,ilestnaturel de vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cf prochaine section). • Calcul de a 0 On suppose que la s´erie (2.1) (second membre de l’´equation (2.3)) peut ˆetre int´egr´ee terme a terme. Expression de la série de Fourier En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques.C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique. Rappelons que l’une des conditions pour calculer la série de Fourier de … En utilisant la définition de la valeur efficace d'une grandeur périodique, j'avais trouvé comme valeur efficace pour u2(t), Rac(6). L’objectif est de décomposer toute fonction périodique sous forme d’une combinaison linéaire de cos(nωT) et sin(nωT), ou d’une combinaison linéaire de exp(niωT). En g en … Découvrez la Série de Fourier avec ce tutoriel pour la calculatrice TI-Nspire™ CX CAS. voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. R telle que f(x) = x2 sur [0;2ˇ[. A. Rappel sur le développement en série de Fourier Soit f une fonction ( ou signal) périodique de période T . La décomposition de Fourier que nous allons voir s’appuie sur une famille de fonctions sinus. Vous avez juste à renseigner la fonction voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. Calcula la derivada numerica y analitica de … finie en tout point ai. L’idée est de décomposer n’importe quelle fonction périodique en une somme de cosinus et de sinus, ou en une somme d’exponentielles complexes : cela est lié à la décomposition d’un son en une fréquence fondamentale et des harmoniques comme tu as dû le voir au lycée par exemple. Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 . C'est par ici, $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$, $$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$, $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$. Une fois que l’on a calculé la série de Fourier, la question est de savoir si f est égale à la série de Fourier ou pas. Pour pouvoir calculer les coefficients de Fourier d’une fonction de R dans C, celle-ci doit être périodique de période T, et continue par morceaux. Il existe plusieurs relations entre les coefficients an, bn et cn que tu peux démontrer pour t’entraîner : Ainsi, cn et c-n sont conjugués. Nous allons nous intéresser dans ce chapitre aux séries de Fourier. Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques. – calcul des coefficients de Fourier Bien sûr le graphique n’est pas une démonstration, et il faut montrer proprement cette parité et cette continuité, mais à l’oral par exemple le graphique suffit souvent à l’examinateur pour montrer que tu as compris. — Calcul des coefficients de Fourier dans le cas d'un signal impair La démonstration est similaire pour sin(ωT) et exp(i ωT). Asif Khan: 2020-11-14 20:33:22 Hello, I did a fourier series for a function f(x) defined as f(x) = -x -pi x 0, f(x) = 0 0 x pi when i plugged in the results in the calculator I got the same answers for An and Bn when n > 0. On rappelle qu’une fonction périodique de période T est définie par : On définit alors la pulsation ω comme en physique par : cos(ωT), sin(ωT) et exp(iωT) sont alors périodiques de période T. ok, merci mes amis, mais juste une dernière question, n'existe-t-il pas un tel logiciel, mais qui soit en graphique, c'est-à-dire, un programme qui me permet de gérer ce que je veux graphiquement, je n'ai pas le temps pour lire toute la documentation de celui que vous m'a recommandez. Je suis conscient que mettre N=5 et bien trop peu, il faut considérer plus de termes dans la série de Fourier mais j'ai mis 5 pour voir graphiquement mais en pratique j'ai déjà essayer avec N = 300 et le résultat n'est pas tellement mieux alors que N=300 est théoriquement largement trop. Calcul des coefficients de Fourier Comment Calculer la série de Fourier en Python Le calcul de la série de Fourier dans votre programme Python vous permet de briser un signal dans ses fréquences. De la même manière, si f est impaire, les coefficients an sont nuls : De plus, si f est paire, dans l’intégrale servant à calculer an, on a f(t)cos(nωt) qui est paire puisque f et cos le sont. En effet, la formule de Parseval fait intervenir les coefficients au carré, il sera donc très fréquent, quand on veut calculer une somme ressemblant au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet, d’appliquer la formule de Parseval. Parfois, on parle aussi des polynomes de Fourier ou polynomes trigonométriques qui s'écrivent sous la forme: En mathématiques,on appelle série de Fourier tout expression qui s'écrit sous la forme: Funciones. Ce site vous aidera à faire du calcul en ligne à l'aide des outils mathématiques que j'ai développés en Python qui est un langage qui s'utilise très souvent dans les sciences. Attention, la condition C1 par morceaux est primordiale !! Pour cela rien de plus simple, il suffit de remplacer t par 0 ! Cela veut dire que les mécanismes de calcul sont gérés par des fonctions python et un peu de javascript pour les tracés de courbes. cos(ω(x + T)) = cos(ωx + 2π) Que peut on dire des coefficient de Fourier d’une fonction impaire? Le décomposition ainsi que sa représentation graphique jusqu'a l'ordre 4 La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est une approximation de la "vraie" transformée en vue du calcul numérique effectif; elle consiste en deux étapes qui faussent un peu (mais pas trop, du moins l'espère-t-on) sa valeur. Exercice 2 Calculer la série de ourier,F sous forme trigonométrique, de la fonction 2ˇ-périodique f: R! Ces deux équations se montrent en décomposant l’exponentielle en cos + isin dans l’intégrale. Attention, tu auras peut-être remarqué que dans la somme avec les cn, il n’y a pas de moins dans l’exponentielle, contrairement à l’exponentielle dans l’intégrale permettant le calcul de cn. Ce qui nous donne : Expression des coefficients des séries de Fourier 3.1. Matrices Vectores. On sait que: n n * Or est une fonction paire donc Le calcul de me donne . Re : Période et série de Fourier merci, le problème c'est que je suis sur excel en espagnol et que je retrouve pas la fonction equivalente.J'ai bien une foncyion complejo, mais si g bien compris elle convertit des coefficients réels et imaginaires en un nombre complexe et moi je veux l'inverse Alors voici la question: Calculer les coefficients de Fourier de la fonction . Il nous reste donc à chercher les coéfficients bn. On peut voir assez facilement que f est paire et continue. A partir de ces deux équations, on en déduit facilement que : A partir de ces coefficients, on va pouvoir exprimer la série de Fourier de f. Une fois que l’on a calculé les coefficients de Fourier, on peut alors écrire la somme partielle de la série de Fourier notée SN(f(t)) et définie de la manière suivante : La série de Fourier est tout simplement la limite quand N tend vers +∞ de SN(f) : Attention, b0 n’existant pas, la somme des bn commence à 1, mais celle des an commence à 0…. 2.9. Nous verrons que les séries de Fourier s’appliquent aux fonctions périodiques, ce pourquoi ce sont surtout les phénomènes physiques périodiques qui sont visés (électricité, ondes etc…). Expression des coefficients forme réelle. $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$ t 0 t 0 +T f(t) série de Fourier t 0 +2T t $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}$$ Ce qui change c’est la définition de la fonction, qui entraîne des calculs différents, et permet donc de calculer des sommes différentes, mais la méthode reste souvent la même, à savoir : De plus, bn = 0 pour tout n, et pour les an on fait le même changement que précédemment, d’où : On a maintenant la somme que l’on souhaite calculer : il ne reste plus qu’à calculer l’intégrale et isoler la somme : On vient de trouver la deuxième somme ! Les conditions sont les mêmes que pour le calcul des coefficients de Fourier, à savoir que f doit être périodique et continue par morceaux. Tout les polynomes de Fourier sont $2\pi-$ périodiques. Suivant les exercices, on utilisera plutôt l’une ou l’autre des formules. TRANSFORMÉE DE FOURIER . Donc on a, de cette manière, trouvé les coefficients de Fourier en fonction de la fonction F de t. C'est tout simplement la valeur moyenne de F de t multipliée par l'exponentielle ioméga nt pour le coefficient Cn ou donc 1 sur T fois l'intégrale, sur une période de F de t fois cette exponentielle complexe. série de Fourier portant aujourd’hui son nom. Comme tu le vois, le calcul s’est fait en 2 étapes : appliquer le théorème de Dirichlet, puis remplacer la variable par un réel particulier, sachant que l’on prend souvent des valeurs simples comme 0, 1, -1 ou π notamment. Les sinus font partie des fonctions trigonométriques et ont donc une longue histoire. Exemple : Pour cette fonction, f(2–) = 9 et f(2+) = 4 Contrairement à la somme précédente, pas besoin de remplacer la variable par une valeur particulière, puisqu’il n’y a pas de variable ! • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu – De l’analogique au numérique – Analyse de Fourier de signaux numériques III. C’est par exemple le cas si la s´erie num´erique form´ee avec ... le segment (−π,π), sa s´erie de Fourier converge en tous les points. Cet exercice est extrêmement classique, à savoir que l’on a une fonction périodique, on demande de calculer la série de Fourier puis d’en déduire des sommes. Attention, b0 n’existe pas ! Remarque importante : si f est continue en x, f(x–) = f(x+) et donc (f(x+) + f(x–))/2 = f(x). —. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Formule de Parseval ). Corrigés Exercices Séries de Fourier, Séries de Fourier, Mathématiques TSI 2, AlloSchool However, for Ao i got half of the answer. Exercices. —. où ai tel que $i∈\{1,\cdots,n\}$sont les coefficients de Fn(x). SÉRIES DE FOURIER 7 3. Certains professeurs préfèrent une autre expression pour a0, qui est : La formule de Parseval change alors et devient : Ces égalités faisant intervenir le carré de f et le carré des coefficients, on l’utilisera souvent quand on veut démontrer une formule où l’on souhaite le carré de l’expression des coefficients, ou quand on a une somme qui ressemble au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet (c’est ce que l’on va voir juste en-dessous dans l’exemple d’application). On a alors : Là encore on a deux égalités, une avec les coefficients cn, l’autre avec les an et les bn). Il s’agit maintenant de calculer les 2 sommes données dans l’énoncé. $$b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$$ J'ai une fonction périodique de période T et voudrais savoir comment obtenir la liste des coefficients de Fourier. On pourrait donc écrire une formule plus générale pour tout réel k : De même évidemment pour les coefficients an et bn. 2.9. On retrouvera alors finalement : f est ainsi continue, donc continue par morceaux, on peut donc calculer ses coefficients de Fourier. $$ A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx))$$ Interprétation physique du développement en série de Fourier : 2.13. Vous avez juste à renseigner la fonction ATTENTION !! Analyse de Fourier En , le physicien et math´ematicien franc¸ais JosephFourier( - ) ´etudiait les transferts ther-miques. Cliquez sur l'ordre voulue pour l'afficher sur le graph, Cliquez sur la fonction pour calculer sa décomposition en séries de Fourier. En déduire la valeur des sommes suivantes : Solution : Un élément de Esera défini par sa valeur sur un intervalle de longueur 2π(sauf éventuelement en un nombre fini de points). Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 . Ce sont des séries, comme son nom l’indique, qui permettent de simplifier la résolution de problèmes physiques, notamment des équations différentielles. si non je serai obligé de … On appelle régularisée de Dirichlet de f en x la quantité : Avec ça, on va maintenant pouvoir donner le théorème de Dirichlet : — La Transformée de Fourier, est-ce que ça peut se faire discrètement? $$ F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)$$ L’énoncé est le suivant : On peut alors remplacer S(f)(x) par une des deux expressions vues précédemment (celle avec les cn, ou celle avec les an et les bn). By using this website, you agree to our Cookie Policy. En effet, l’égalité est vraie pour tout t, en particulier pour t = 0 : cette technique de remplacer t par un réel particulier sera souvent employée pour calculer des sommes. Là où la fonction est continue, on a évidemment f(x–) = f(x+) Une fois que l’on a calculé la série de Fourier, la question est de savoir si f est égale à la série de Fourier ou pas. Celles-ci sont transformées en sommes de fonctions périodiques (sinus et cosinus) plus simples. Pour simuler cette décomposition: $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$, Voulez vous nous contacter ? $$f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi$$ Les coefficients de Fourier étant déterminés, on peut maintenant donner la série de Fourier : Or bn = 0 pour tout n, et T = 2π donc ω = 2π/T = 1, d’où : De plus, an = 0 pour n pair (sauf a0 !! Ainsi, si f est C1 tout court (et non par morceaux), la demie-somme est égale à f(x), ce qui simplifie la formule. Interprétation physique du développement en série de Fourier : 2.13. This website uses cookies to ensure you get the best experience. seront affichés ci-dessous. On peut facilement démontrer que quand f est paire, les coefficients bn sont nuls. I used the for formula Ao = 1/2L integral of f(x) between the upper and lower limits. Remarque sur la parité de la fonction et ses conséquences en remarquant dès le début que est impaire, les calculs peuvent s'effectuer plus rapidement et simplement en employant les formules adaptées des coefficients et (alors directement égaux à 0 , sans calculs), et de . Introduction. f étant paire, tous les coefficients bn seront nuls d’après ce que l’on a vu dans le cours, et les coefficients an sont définis par : Or f étant paire, on avait vu que l’on peut calculer les coefficients sur une demie-période en multipliant par 2 car la fonction intégrée est paire : a0 se calcule facilement, an se calcule avec une intégration par parties que nous ne détaillerons pas car ce n’est pas l’objectif ici. Je trouve ces résultats un peu étrange, pouvez-vous me les confirmer s'il vous plaît. Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe: 2.11. – application du théorème de Dirichlet et remplacement de la variable par une valeur particulière On peut donc exprimer la série de Fourier de deux manières différentes, soit avec les coefficients cn, soit avec les coefficients an et bn : tout dépendra de l’exercice. Avant de passer aux exercices, voyons un exemple concret d’application de tout ce que l’on a vu jusqu’à présent. Rappelons que l’une des conditions pour calculer la série de Fourier de f est que celle-ci soit continue par morceaux. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo, Calcul mental et règles de divisibilité. Nous ferons ce genre d’exercices dans les vidéos disponibles sur le lien ci-dessous, n’hésite pas à t’entraîner ! Pour une telle fonction, aux points de discontinuité, la fonction a une limite à gauche notée f(x–), et une limite à droite notée f(x+). Remarque : ici la variable est t mais ça peut être x par exemple. Il y a cependant des conditions pour pouvoir calculer la série de Fourier d’une fonction : — Peut-être un manque de connaissances mathématiques, mais je ne vois pas comment calculer les coefficients de Fourier de la fft. R telle que f(x) = ˇ j xj sur ] ˇ;ˇ].La série converge-t-elle vers f? Les exercices vidéo en fin de chapitre te permettront de voir des applications concrètes des théorèmes présents dans le cours. cos(ω(x + T)) = cos(ωx) car cos est 2π périodique L’intégrale de 0 à T vaut donc le double de celle de 0 à T/2 : De même pour bn, si f est impaire, f(t)sin(nωt) est paire car f et sin sont impaires, donc : On se servira souvent de ces expressions dans les exercices. Les s eries de Fourier Daniel Perrin ... Il est aussi fait allusion a l’utilisation du d eveloppement en s erie de Fourier ... nsinn!t) le calcul est encore facile en traitant s epar ement le cas de chaque terme (on parle d’harmoniques) et en les ajou-tant (principe de superposition). Supposons qu'on veut trouver la décomposition en séries de Fourier de $$ f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right)$$ (cf.

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