1 Les composantes du nouveau tenseur sont 4 fois covariantes et 2 fois contravariantes. {\displaystyle {\mathcal {V}}^{n}} n {\displaystyle (x'(i))_{i=1\ldots n}} {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} i ′ ′ μ {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}} C Un présentation plus générale du calcul tensoriel peut être trouvée dans [2]. l de fonctions, chacune de e n ( i i Caras e caros, estas são as notas da aula de ontem, na qual discutimos as questões dos vetores covariantes, contravariantes, pseudo, etc. i rieurs (voir composantes covariantes et contravariantes). … j Este é um material mais ou menos canônico que pode ser encontrado em muitos livros de Física-Matemática, mas eu não me lembro de nenhuma discussão tão explícita como a que fizemos ontem. x , {\displaystyle u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}.e_{k}}, Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Repère euclidien non orthonormé : Coordonnées covariantes et contravariantes, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Repère_euclidien_non_orthonormé/Coordonnées_covariantes_et_contravariantes&oldid=797464, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. E μ La longueur au carré d’un vecteur sera donc ∥v⃗∥2=x2+y2\|\vec v\|^2=x^2+y^2∥v∥2=x2+y2 Si x=y=1x=y=1x=y=1 on a alors ∥v⃗∥2=12+12=2\|\vec v\|^2=1^2+1^2=2∥v∥2=12+12=2 donc ∥v⃗∥=2≈1.41\|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41∥v∥=2​≈1.41 (ou −2-\sqrt2−2​mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). ( sont isomorphes. traduit une structure commune plus abstraite qui relève essentiellement de la théorie des catégories. i , La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. x … {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i}} . ) ( n donne: Théorème et définition —  Lorsqu'un ensemble . i i n { 1 μ BASES COVARIANTES YCONTRAVARIANTES.Cálculo Vectorial2013-1 2. = Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées. n i j … ) R 1 i k = i Symboles de christoffel en coordonnées sphériques. O M Jusque la ca va. Je suis donc dans le cas le plus complique. {\displaystyle \mathbf {x} } j {\displaystyle \nu } = {\displaystyle x_{k}=e_{k}.v=e_{k}. … b Cependant, les variétés différentielles sont, localement, assimilables à des espaces vectoriels à travers les espaces tangents. ∗ f j {\displaystyle \mathbf {R} } ν Pour différencier les coordonnées habituelles des coordonnées covariantes que l’on vient de définir, nous mettrons l’indice en exposant (selon la coutume) et nous appellerons celle-ci coordonnées contravariantes (nous verrons pourquoi dans le chapitre suivant). i ou {\displaystyle \mathbf {x} } → Par conséquent, à tout vecteur ′ n est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice e , c'est-à-dire le résultat i {\displaystyle {\mathcal {V}}^{n}} ′ Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre P + Q {\displaystyle P+Q} , appelé produit tensoriel de A et B . , Quand on utilise les coordonnées contravariantes d'un vecteur, on parle de vecteur contravariant . {\displaystyle \mathbf {e} '_{i=1\ldots n}} n n ′ k ′ C'est une conséquence directe de la linéarité de l'opérateur de dérivation directionnelle selon la direction. ) e e j x x Pas du tout, la connaissance de ces coordonnées permet de localiser aussi bien le point M que les coordonnées classiques. ⋅ de dimension finie > Avant de traiter le problème avec ta rotation et ta matrice de rotation > S, je vais traiter d'abord les changements d'observateur, qui change de > base en laissant l'objet invariant. i e n x X x = ( x ⋅ e i ) e i = ( x ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}} s'écrit de manière unique: Les scalaires . Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. μ de les expressions des deux familles dans la base ( {\displaystyle E^{*}} (on dit que la base n’est plus orthogonale) Maintenant on a y… i x En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction {\displaystyle (x(i))_{i=1\ldots n}} 1 = ∂ 1 de l'application de la forme linéaire e Les produits scalaires d'un vecteur {\displaystyle T_{\nu }} {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} x n μ : Le produit scalaire par = … e ′ ′ {\displaystyle (X(i)(\mathbf {e} '))_{i=1\ldots n}} = ∂ , et {\displaystyle X=(X(i))_{i=1\ldots n}} RECORDANDO… Un escalar es una cantidad cuya especificación en cualquier sistema de coordenadas requiere solamente de un número. v {\displaystyle T} 4.1 Plan euclidien. T dans la somme , l'indice commun disparait. et Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs et composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de + composantes. , s'écrit: où les coefficients M {\displaystyle T^{\mu }} → Définition (simpliste): Les "tenseurs" sont des objets mathématiques généralisant les notions de vecteurs et de matrices. x = , et on identifie parfois les deux. {\displaystyle (b'_{i})_{i=1\ldots n}} μ Améliorez-le, discutez des points à améliorer ou précisez les sections à recycler en utilisant {{section à recycler}}. i = La dernière modification de cette page a été faite le 30 août 2020 à 20:29. ( , … i ) → i ) Lorsque le système de coordonnées n’est pas orthogonal, il faut distinguer les composantes cova-riantes et contravariantes du tenseur. {\displaystyle (a'^{i})_{i=1\ldots n}} vers x X La combinaison de deux séries d'objets, un covariantes « complémentaire » et contravariant un, est défini par la relation: où C est un objet qui est défini indépendamment du choix de la base. = x = ( x ⋅ e i ) e i = ( x ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}} {\displaystyle x(j)=\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{j}x'(i)}. ν T ( i et Revenons maintenant sur quelque chose qui va nous sembler bien ancien… X , s'écrit, dans la base duale 1 {\displaystyle (b_{i})_{i=1\ldots n}} = → Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. {\displaystyle x'^{\mu }(x^{\mu })} {\displaystyle T'^{\mu }=\partial _{\nu }x'^{\mu }T^{\nu }}. . x En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles. … μ = 1 Facile. Pour que des coordonnées soient à la fois covariantes et contravariantes, il faut que dans de telles bases, on ait à la fois : et {\displaystyle {\mathcal {V}}} , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue. et Covariance et contravariance simultanée. {\displaystyle \mathbf {x} } e ) k est un n ) ( e Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé. E . {\overrightarrow {OM_{k}}}+e_{k}. C'est simpl… v O k k {\displaystyle (a^{i})_{i=1\ldots n}} x 1 . … et seules les expressions (3:7) et (3:10) sont correctes. 1 ( , {Les composantes covariantes et contravariantes. j ν ∂ ∂ e ) 1 i l . 1 Base duale - coordonnées covariantes. forment la matrice de passage. 1 T et une base x i ) : Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas. μ est dite contravariante lorsque ( . )  : x Soit alors une famille Notre approche des grandes transformations est basée sur l'utilisation parallèle des deux configurations lagrangienne (bleue, configuration de référence Co) et eulérienne (rouge, configuration actuelle C(t)). Contravariantes : forum de maths - Forum de mathématiques...ceci dit je reviens plus tard car il y a des choses à dire encore (même si c'est repondu pour juste ton exo mais c'est dommage d'en rester là car il y a des trucs importants à dire ).. mais j'ai du menage à faire et des courses aussi , ma mere est handicapée et elle peut pas le faire et mes chats sont nuls ) k {\displaystyle x_{k}=e_{k}.v}. et = . → = Les coordonnées lagrangiennes XI (non, ce n'est pas une erreur, l'indice I est bien maintenant en haut, nous y viendrons bientôt) définissent sur Co un système de coordonnées cartésiennes orthonormées et nous noterons EIles vecteurs de base correspondants X = XI EI EI .EJ = Î´IJ Toutefois, s'il est souvent pratiq… {\displaystyle \mathbf {x^{*}} } {\displaystyle X} ′ {\displaystyle (X(i)(\mathbf {e} ))_{i=1\ldots n}} {\displaystyle (\mathbf {e} '_{i})_{i=1\ldots n}} i ) ′ est parfois noté ) = ) i ainsi: Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas. {\displaystyle \mathbf {x} } M En notant ′ Soit un repère (O, e1, e2, e3) normé mais pas orthonormé. Certains auteurs, tels que Sean M. Carroll (cf. En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. -espace vectoriel de dimension finie, alors = … ∂ naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées et son dual ) x x e ′ = . Produit contracté. ) Los conceptos de covarianza, contravarianza e invarianza son una de las herramientas más importantes de la formulación matemática de las leyes físicas, y pese a que en raras ocasiones se explican detenidamente, todo el mundo tiene una idea intuitiva de lo que significan. ∗ {\displaystyle \mu } i {\displaystyle \mathbb {R} } = est dite covariante lorsque Dans l'énoncé suivant, la deuxième égalité doit donc être comprise comme une correspondance plutôt que comme une égalité. {\displaystyle E} k ′ ′ {\displaystyle {T'}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\mu }}}T_{\nu }=\partial _{\mu }x^{\nu }T_{\nu }} μ n à μ , e n ) M ν n 1 1 Par d´efinition, un tenseur euclidien d’ordre n est un ´el´ement de l’espace vectoriel issu du produit tensoriel de E par lui-mˆeme n fois, E › ::: › E. Un tenseur d’ordre 1 est donc un ´el´ement de E, c’est-`a-dire un vecteur.On peut alors d´efinir ses composantes covariantes et contravariantes. {\displaystyle \mathbf {x} } ) ′ dans l'énoncé suivant et sa démonstration est en réalité le crochet de dualité de k n ν ) ′ ( ′ e {\displaystyle T} T est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice i k E ( {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )} . i e peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres. e Cela signifie que les vecteurs e1, e2, e3 sont de norme 1 mais ne sont pas orthogonaux.

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