0000008787 00000 n Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. << endobj 589.1 483.8 427.7 555.4 505 556.5 425.2 527.8 579.5 613.4 636.6 272] endobj 0000010691 00000 n >> Développement en série entière Exercice 8.1 Premiers exemples de développements en série entière Montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière au voisinage de 0 et, dans chaque cas, calculer leur développement en série entière au voisinage de 0. /Widths[333 556 556 167 333 611 278 333 333 0 333 564 0 611 444 333 278 0 0 0 0 0 55 0 obj /Subtype/Type1 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 1 http ://www.maths-france.fr 761.6 489.6 516.9 734 743.9 700.5 813 724.8 633.9 772.4 811.3 431.9 541.2 833 666.2 Comme toutes les séries introduites convergent : En supprimant les termes nuls : on peut ensuite simplifier : puis par changement d’indices . dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 278 278 564 564 564 444 921 722 667 667 500 500 1000 500 500 333 1000 556 333 1000 0 0 0 0 0 0 500 500 350 500 1000 333 1000 Reconnaitre . /Widths[660.7 490.6 632.1 882.1 544.1 388.9 692.4 1062.5 1062.5 1062.5 1062.5 295.1 Puis en prenant les valeurs en et , on obtient : . /BaseFont/WKPLKI+CMSY10 >> 413.2 590.3 560.8 767.4 560.8 560.8 472.2 531.3 1062.5 531.3 531.3 531.3 0 0 0 0 0000009360 00000 n %PDF-1.2 En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme ∑ où les coefficients a n forment une suite réelle ou complexe. /BaseFont/CBKWNR+CMEX10 28 0 obj En utilisant laformule de Taylor : M1.1. /Subtype/Type1 Exercice 25 [ 00982 ] [correction] Développements en série entière, calcul de sommes de séries entières. 39 0 obj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 663.6 885.4 826.4 736.8 0000009079 00000 n 0000025571 00000 n ��svGZ���V ��CG�6�(v�]:��+�+������u��IM��(B��X��v=��JE�+7�*5R�% �td�����m`!8�P����Z���}���m��I�h�U~��mO��t�~yfG�I��. 1 Développement en série entière d’un inverse : Nombres de Bernoulli et nombres d’Euler Soit P a kzk une série entière de rayon de convergence R > 0, et soit la fonction: S : D(O;R) ! /Name/F6 En effet ce qui m'embête c'est que la suite an n'est pas définie pour n=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 777.8 277.8 777.8 500 777.8 500 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 777.8 Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. 0000025199 00000 n 783.4 872.8 823.4 619.8 708.3 654.8 0 0 816.7 682.4 596.2 547.3 470.1 429.5 467 533.2 0000008850 00000 n Alors la série entière ∑ (a n + b n 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 1 4+2x2. 53 32 1.Montrer qu’il existe une suite de polynômes (P n) n2N telle que pour tout entier naturel n, f(n) =P n f et que les P n sont à coefficients entiers naturels. En déduire que f n’est pas développable en série entière en 0. h��=���q�Y�����D^�.�N���'��C��W�1��8).��tvC�t�,$���{-R��z�0� 1000 1000 1055.6 1055.6 1055.6 777.8 666.7 666.7 450 450 450 450 777.8 777.8 0 0 Corrigé 10. a)Il est classique (en considérant S 2n S n) que limS n= +1. 0000010722 00000 n Cherchons les solutions sous forme de série entière donc. 25 0 obj 1062.5 826.4] Analyse : développement en série d’une fonction 7.4. 19 0 obj /Type/Font 720.1 807.4 730.7 1264.5 869.1 841.6 743.3 867.7 906.9 643.4 586.3 662.8 656.2 1054.6
�#sQ�| 12.. Un développement en série est l'expression d'une fonction sous forme d'une série de fonctions élémentaires. << /Subtype/Type1 666.7 722.2 722.2 1000 722.2 722.2 666.7 1888.9 2333.3 1888.9 2333.3 0 555.6 638.9 1 3 2 2 − ++ x x x x a, b. /BaseFont/NJLTZD+CMR8 /Name/F1 /BaseFont/REDANJ+CMSY8 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 Mon problème est que dans cet exercice je n'arrive pas à faire apparaître les x^n sur toutes les sommes que j'obtiens. 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 1. x 7!2 1 x +exp(x). endobj /FontDescriptor 9 0 R endobj /Subtype/Type1 11. 500 500 500 500 333 389 278 500 500 722 500 500 444 480 200 480 541 0 0 0 333 500 0000010840 00000 n endobj Y�ŋHtEp�d�6A�ũ-B62Q]Л�;\�_LV�V���j�/E�Uuի2��N����� ^�;���f��Y�C�`E��(T����n���1� �������;})&J�nȽ������'TR��7 nGf��?.��_s"I��Ko|_��-��˃�G3U�jmL&�e��G��v]k�$��X 1�2������ft���iC��AiC�2�M7m��v��@��-^����ͷ���[��U�m�)O���уp� ] �c7SK��!��b���Ym�� 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 1062.5 1062.5 826.4 826.4 0 0 0 0 722.2 555.6 777.8 666.7 444.4 666.7 777.8 777.8 777.8 777.8 222.2 388.9 777.8 Par exemple la fonction plateau : → {− / ≠ = admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! /Widths[333 556 556 167 333 667 278 333 333 0 333 570 0 667 444 333 278 0 0 0 0 0 3. 31 0 obj Déterminer le développement en série entière de sur ] [. /Type/Font Toute équation F(x,y) = o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de deux va-riables x et y dans le voisinage d'un système de valeurs x0, y0, pour lequel on a F(x0tiy0) = o, la dérivée -7- n'étant pas nulle pour x = x0, yz=yOy Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser. x��]��$�q�|�(��n���B@0l�,���/~�) /BaseFont/OKXJZP+NimbusRomNo9L-Medi Bonjour 1- À partir la racine évidente 1, on obtient et la décomposition en élements simples est facile à obtenir, d'où le développement en série entière. /Differences[1/dotaccent/fi/fl/fraction/hungarumlaut/Lslash/lslash/ogonek/ring 11/breve/minus /FirstChar 1 53 0 obj /FirstChar 33 389 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 220 500 333 747 300 500 570 333 747 333 0000025834 00000 n 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 3. Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 333 333 570 570 570 500 930 722 667 722 8. 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 761.6 489.6 << Bonjour à tous, mon problème vient du développement en série entière de Je pense donc au produit de Cauchy ce qui donne d'abord : et en faisant le changement de variable dans la somme de droite j'obtiens: On peut parfois exprimer, au moyen de leur développement en série entière, des solutions d’une équation différentielle. 0000010129 00000 n /FontDescriptor 33 0 R C z 7! stream /LastChar 255 >> << Exercice V : Série entière et rayon de convergence Développer en série entière et déterminer les rayons de convergence : 1 x¡5, 1 1+9x2, 1 (1+ x)2, ln(5¡x). 1 est DSE(0) (développable en série entière autour de 0) alors son DSE(0) correspond à son développement de aTylor : X+1 n=0 f(n) 1 (0) n! 295.1 826.4 501.7 501.7 826.4 795.8 752.1 767.4 811.1 722.6 693.1 833.5 795.8 382.6 22 0 obj 722 667 611 778 778 389 500 778 667 944 722 778 611 778 722 556 667 722 722 1000 endobj 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 722 611 556 722 722 333 389 722 611 889 722 722 556 722 667 556 611 722 722 944 722 @=��4���a�"6���S��@q�WП�HX 761.6 272 489.6] 947.3 784.1 748.3 631.1 775.5 745.3 602.2 573.9 665 570.8 924.4 812.6 568.1 670.2 /FontDescriptor 21 0 R 0000024971 00000 n 0000008931 00000 n /Name/F5 /Length 1898 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i. 531.3 531.3 413.2 413.2 295.1 531.3 531.3 649.3 531.3 295.1 885.4 795.8 885.4 443.6 ������G�e�+6*�} T1B=C��H�D��^iZ�;��r�U�Z�s_���쳃��@����0�u�=a��4��Ώ�6q�nxv�Ż�����,�V��m2:_�����������*f���N`�\�U��w;m�τ4�2Q �o�1x��䓡���Ϡ�����\#����������3+�ʌ��Ȩ�����}���m;|�|dž/wOwn��O����>���G��;_���W,����A��0(��pw������V�?-���pT��֙�P��A��z%�/�aRퟔ_��g��Ɩ�Z��j���~y�T����{���Zi�ml����~���I�s��~��2�?��˯'��W�z��6~�?�vܥYⓤsg�������`F歳t�iU�ؿ-]�q�ZI;�Տ�b��1��ݿ)��`>�[���=?�(c��%6����ٝ��V Pour poster un commentaire, clique sur le titre de l’article. M1. 0000000952 00000 n ǵ�#wg5O�r,J��ac����1��/o�ʉ��Ѩ������q���';3 I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x,z)et l’identi-fier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport à x) de F(x,z). /Type/Font Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. II.1) Justifier que la fonction f est de classe C1 et que la fonction f 0 est développable en série entière. 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 7.10 1) Déterminer le polynôme de Taylor de degré n de la fonction f(x)=ex au voisinage de a =0. 400 570 300 300 333 556 540 250 333 300 330 500 750 750 750 500 722 722 722 722 722 444.4 611.1 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /Contents 56 0 R En utilisant une décomposition en éléments simples, montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière en 0, en donnant l’intervalle sur lequel ce développement est valable : a. /FirstChar 0 0000008808 00000 n cos( ) 1 1 x2 −x θ+ En utilisant dessommes de DSE connus. 791.7 777.8] 7 0 obj endobj On cherche les réels et tels que . 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 On obtient alors une somme "globale" des bn * x^n, ce qui nous permet d'exprimer la suite les an par unicité du développement en série entière. ��It����Q��.C��P�E������/ˣ��Wi�M���0�P>��)f��e��ʯ��,��nNT?��]�,՛��d�����S�nu}���ѱܷq������Ka�� �E��G�d����>���iR^��(�����EG ��L9;���Ā�����Z
��$~�3B�>�p0��1�&" ̌Ns�ŔOZ��2�`�X���H
$����.7����*� 4�sj�i#9*'�Mp��#B� q�`�`�,
A�{�*Z���q`�&�|m�� O��q�Ό�x�r0K@A3��?? Le développement en série entière suit. Par la condition suffisante : étant supposée de classe sur , est développable en série entière sur lorsque la suite de terme général converge vers . xref Sommes et produits de séries entières Théorème Soient ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R' et ∑ b n xn une série entière de rayon de convergence R". 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 0 0 0 0 0 0 0 333 278 250 333 555 500 500 1000 833 333 333 333 500 570 250 333 250 /Encoding 7 0 R /Name/F8 /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 endobj 295.1 826.4 531.3 826.4 531.3 559.7 795.8 801.4 757.3 871.7 778.7 672.4 827.9 872.8 trailer Par la formule de Taylor avec reste intégral (peu utilisé). <> amicalement, e.v. 611.1 777.8 777.8 388.9 500 777.8 666.7 944.4 722.2 777.8 611.1 777.8 722.2 555.6 >> 278 278 500 556 500 500 500 500 500 570 500 556 556 556 556 500 556 500] xn: Il faut donc commencer par calculer le f(n) 1 (0) pour tout n. Ensuite, on étudiera sur quel intervalle f 1(x) est égale à son développement de aTylor. /Type/Font 0000010489 00000 n << /Type/Font /FirstChar 33 Développements en séries entières usuels Fonction Développement en série entière (DSE) Intervalle de validité du DSE x 6ex 23 0 /Type/Font /Name/F3 endobj 161/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot/hyphen/registered/macron/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior/acute/mu/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis/yacute/thorn/ydieresis] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 826.4 295.1 826.4 531.3 826.4 0 /Name/F9 888.9 888.9 888.9 888.9 666.7 875 875 875 875 611.1 611.1 833.3 1111.1 472.2 555.6 Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. 54 0 obj 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1055.6 944.4 472.2 833.3 833.3 833.3 833.3 Exercice VI : Série entière et rayon de convergence 2)En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylorà l’origine de f a un rayon de convergence R supérieur ou égal à π 2. >> >> 2- Il faut commencer par développer la dérivée de . /LastChar 127 Pourp2N,onnotea p;n= P k 1+ +kn=p a k 1 a k 2 a kn. /Name/F2 >> /FontDescriptor 18 0 R 597.2 736.1 736.1 527.8 527.8 583.3 583.3 583.3 583.3 750 750 750 750 1044.4 1044.4 /Subtype/Type1 722 722 722 556 500 444 444 444 444 444 444 667 444 444 444 444 444 278 278 278 278 P +1 n=0 a nz n oùD(O;R) = fz2C : jzj
Gâteux Synonyme 6 Lettres, Résidence Mer Et Golf Anglet, Mef De Lélève, Vieille Ville De Los Cristianos, Trinity Laylow Disque D'or, Programme Prépa Ece Culture Générale, Villa Bali Luxe,