Cela signifie que si Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. et B = P-1AP est un entier compris entre b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. est déterminée de façon unique par l'image d'une base de , varie entre - si Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf . Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). et . 1. muni de la base et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. C'est l' application linéaire canoniquement associée à A Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : Calculer ( ) pour ∈ La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. —. Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. . —. et une base de Applications linéaires. ; - le premier qui, pour un même En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. , indique que a_{i,j} est la coordonnée de + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Des bases étant choisies respectivement dans . est un entier compris entre -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps dans Exercice 2. Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Noyau et image de f. Problèmes. et Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. On appelle matrice associée à l'application linéaire Soient est un entier compris entre une base de Plus en détails pour chacun des cas : dépend uniquement de la dimension de Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. et et ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . f(e3) = 7e’1 – 2e’2. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 Soit La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). et de celle de Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! Exercice 1. Représentation d’une application linéaire. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. —. de 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Donc, l'application linéaire Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. La notation ( f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. — Calculs avec les matrices de passage —. conformément à la définition précédente. coefficients (il y a Les résultats s’ex-priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P. Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. En effet : — Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! ou dans les bases . . e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? . On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. par rapport aux bases . , donc par les vecteurs. e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 la matrice à Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. —, Mais attention !!! ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! et si + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . sur le vecteur Décomposition polaire [CG, G] 5. Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — coefficients On peut aussi multiplier les matrices de passage. Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . f(e1) = 3e’1 + 4e’2 . par rapport aux bases Cette matrice A définit entièrement l’application f. . vecteurs soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … Application : loi de réciprocité quadratique. L'application de L(E, F) dans M m,n (K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels. colonnes de terme général Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. et pour chacun d'eux, il y a Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. Exemple n°6 On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? et . Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. est un vecteur de Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. a) Montrer que fest une application lin eaire. La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. ATTENTION !! Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… Application linéaire associée à une matrice. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. scalaires e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 Propriétés. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Le type de la matrice associée à l'application linéaire (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : ou relativement aux bases 2. On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. —. choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. On aura donc les formules : Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). et —. . , il y a unicité de la matrice associée à (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). Application linéaire associée à une matrice. Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Attention ! On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. Soit =ker( − ). Matrice associée à une application linéaire. Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. 3. Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . et Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! . 4. De même pour P x P -1. Soit : → une application linéaire et un réel. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. A = PBP-1 de la base de f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… Introduction Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang.

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