18. + u n= Xn i=0 u i. Comme premier exemple de série, observons le développement décimal d’un réel En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Cauchy et d'Alembert Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. 2.Pour n > 2, on pose u n = 1 n+( 1)n p n. 8n > 2, u n existe et de plus u n ˘ n!+¥ 1 n. Comme la série de terme général 1 n, n>2, diverge et est positive, la série de terme général u n diverge. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn)n est appelée somme de la série et on note : lim n→+∞ Sn = X+∞ n=0 un Une série qui n’est pas convergente est dite divergente. Afin de retourner à notre bien etre originel dans chaque domaine de la vie, le scientifique Grigori Grabovoï nous a transmis de nouvelles données : la science du chiffre. La suite (an)n est la suite de ses termes. Si x = 1, a nx n = (−1)n lnn est le terme général d’une série alternée, car la suite (1/lnn) décroît et converge vers 0. a) la série de terme général un converge si et seulement si q ≥ p+2, b) la série de terme général (−1)nun converge si et seulement si q ≥ p+1. Elle converge sans converger absolument. Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn)n est convergente. Comme la série de terme général 1 n2, n>1, converge (série de RIEMANN d’exposant a >1), la série de terme général u n converge. Alors la somme formelle P n=n0 an est dite une série numérique. Soit α 6=0 . Si le terme général d'une série numérique ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞, alors cette série diverge ExempleExemple La série de terme général , -pour />G est divergente car lim 9 / 2 / 3 2 1.3) Opérations sur les séries Montrer que la série de terme général (−1)n 3n+1 converge et que X∞ n=0 (−1)n 3n+1 = Z1 0 dx 1+x3. Toutefois, le travail de ce grand monsieur nous amène au coeur du code de la serie numerique. Centrale P’ 1996 Montrer que la série P … qui est le terme général d’une série positive divergente (série de Bertrand). Globalement, le but de la serie numerique est de permettre le retour à l’harmonie dans notre vie et dans notre santé. Soit =∫ ln 2+ 2 0 avec >0. Pour tout >0 et pour tout >0 on définit : ,=∫ ln( ) 2+ 2 Exercice 10. Etudier la nature de la série … Ce n’est rien d’autre que la suite elle même, plus l’information que l’on se propose d’étudier la somme, et ce à … Academia.edu is a platform for academics to share research papers. 3 Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11. On suppose que la série à termes positifs de terme général u n est divergente et on pose S n = P n k=0 u k. Soit f: R+ → R+ une application continue décroissante. Définition 2.1.1 Soit (an)n une suite numérique (complexe). Comparer les énoncés : 1. f est intégrable 2. La série de terme général u nf(S n) converge. 17. 1 UE7 - MA5 : Analyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Généralités Définition 1 Etant donnée une suite (un) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (Sn) définie par : (1) Sn = u0 + u1 + … + un = ∑ k = 0 n uk Sn est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série. Donc A =]−1, 1[ et C =]−1, 1] .

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